IQR

Межквартильный размах (IQR) — простыми словами

Межквартильный размах, или IQR (от англ. *interquartile range*), — это способ оценить разброс «средней части» данных без учёта крайних значений. Он показывает, как «раскиданы» центральные 50 % наблюдений.

Что такое квартиль и как считается IQR

1. Упорядочьте все данные по возрастанию.

2. Разделите «упорядоченный» ряд на две половины (нижнюю и верхнюю).

3. Первый квартиль (Q1) — это медиана нижней половины данных (то есть значение, которое отделяет нижние 25 % от остальных).

4. Третий квартиль (Q3) — медиана верхней половины данных (то есть точка, отделяющая верхние 25 %).

5. IQR = Q3 − Q1.

Таким образом, IQR показывает протяжённость диапазона, в котором лежат средние 50 % значений.

Преимущество такой меры — устойчивость к выбросам: поскольку она не зависит от самых крайних значений, влияние экстремальных точек меньше.

Как IQR используется для обнаружения выбросов

Для того чтобы понять, какие значения можно считать «аномальными», часто используют так называемые «усы» (fences):

- Нижняя граница = Q1 − 1,5 × IQR

- Верхняя граница = Q3 + 1,5 × IQR

Если значение выходит за эти границы (меньше нижней или больше верхней), его можно считать выбросом.

Коэффициент 1,5 — широко принятый стандарт. В зависимости от задачи его могут менять (например, 2,0 или 3,0), чтобы делать более строгий или мягкий фильтр.

Почему IQR часто предпочтительнее других мер разброса

IQR не требует предположений о форме распределения и даёт «честную» оценку того, как сильно варьируются данные в их средней части.

Сравнительный анализ распределений с помощью IQR

Когда нужно сравнить разные группы данных (например, доходы в разных регионах):

1. Сравните сами значения IQR: в какой группе разброс внутри центральных 50 % больше.

2. Посмотрите отношение IQR к медиане (IQR / медиана) — покажет, насколько «относительный» разброс велик.

3. Посмотрите, как распределено расстояние от медианы до Q1 по сравнению с расстоянием от медианы до Q3 ((Q3 − Q2)/(Q2 − Q1)) — это даёт представление об асимметрии.

Так вы можете судить не только о «разбросе», но и о том, как распределение «сдвинуто» в ту или иную сторону.

Когда и где IQR полезен на практике

IQR широко применяется в разных областях:

- При очистке данных — чтобы обнаруживать и исключать выбросы.

- В финансах — оценка волатильности активов и обнаружение необычных сделок.

- В контроле качества — отслеживать стабильность процессов.

- В маркетинге — анализ восприятия клиентов, вариативность поведения.

- В медицине, спорте, логистике — для анализа биологических показателей, результатов и времени доставки.

IQR в статистике: как использовать межквартильный размах данных

Анализ данных без выявления выбросов и понимания распределения – всё равно что навигация без компаса в открытом море. Межквартильный размах (IQR) – это мощный статистический инструмент, который существенно повышает точность интерпретации данных и помогает выявлять аномалии, не поддаваясь влиянию экстремальных значений. В отличие от стандартного отклонения и среднего, IQR даёт более надёжную картину при работе с несимметричными распределениями и загрязнёнными данными. Освоив этот метод, вы сможете принимать более взвешенные решения, оперируя реальными фактами, а не искажённой статистикой.

Межквартильный размах (IQR): сущность и расчет

Межквартильный размах (Interquartile Range, IQR) — это мера разброса данных, определяемая как разница между третьим (Q3) и первым (Q1) квартилями распределения. Квартили делят упорядоченный набор данных на четыре равные части. Фактически, IQR охватывает центральные 50% данных, отсекая 25% нижних и 25% верхних значений.

Расчет IQR выполняется в три шага:

1. Упорядочите данные по возрастанию
2. Найдите первый квартиль (Q1) — медиану нижней половины данных
3. Найдите третий квартиль (Q3) — медиану верхней половины данных

После этого IQR рассчитывается по формуле:

IQR = Q3 – Q1

Рассмотрим пример. Для набора данных [2, 4, 7, 10, 12, 15, 18, 21, 24]:

• Q1 = 7 (медиана значений 2, 4, 7, 10)
• Q3 = 21 (медиана значений 15, 18, 21, 24)
• IQR = 21 – 7 = 14

Ключевое преимущество IQR заключается в его робастности — устойчивости к выбросам и экстремальным значениям. В отличие от размаха (разница между максимальным и минимальным значениями), IQR не зависит от потенциально аномальных крайних точек данных.

Применение IQR для выявления выбросов в наборах данных

Выявление выбросов — одна из важнейших областей применения межквартильного размаха. Метод IQR для обнаружения аномалий отличается надежностью и относительной простотой реализации, что делает его практичным инструментом в арсенале каждого аналитика данных.

Стандартный метод определения выбросов с помощью IQR основан на построении так называемых "ограничительных усов" (fences):

• Нижний ус = Q1 – 1.5 × IQR
• Верхний ус = Q3 + 1.5 × IQR

Значения, выходящие за эти границы, считаются выбросами или аномалиями. Множитель 1.5 выбран эмпирически и является стандартным, однако в зависимости от области применения и чувствительности анализа, он может быть изменен на 2.0 или 3.0.

Преимущества метода IQR для выявления выбросов:

• Не требует предположений о распределении данных
• Устойчив к экстремальным значениям
• Прост в интерпретации и объяснении
• Работает эффективно при асимметричных распределениях
• Служит основой для создания box plot — удобного инструмента визуализации